Schema di Bernoulli

Lo schema di Bernoulli rappresenta un esperimento binario ripetutto $n$ volte:

• tradizionalmente $n$ lanci di moneta non necessariamente equa
• la trasmissione di $n$ bit su un cavo con disturbi (1 mi indica che il bit è arrivato corretamente, 0 altrimenti), schema in cui la probabilità di errore (di 0) deve essere bassa

Si codificano i risultati con $\{0,1\}$ (per comodità dei calcoli successivamente)

$$\begin{gathered} \Omega =\{({\omega }_1,...,{\omega }_2)\mid {\omega }_i\in \{0,1\}\}= \\ =\{0,1\}\times \{0,1\}\times ...\times \{0,1\}=\{0,1{\}}^n \end{gathered}$$

La scelta naturale è la probabilità prodotto su singolo lancio, dove $p$ indica la "truccatura" della moneta

$$\begin{gathered} {\Omega }_1=\{0,1\} \\ \mathbb{P}(\{0\})=1-p \\ \mathbb{P}(\{1\})=p \end{gathered}$$

Lo schema si indica con $(n,p)$

• $n=1$

$$\begin{gathered} \mathbb{P}(\{0\})=1-p \\ \mathbb{P}(\{1\})=p \end{gathered}$$

• $n=2$

$$\begin{gathered} \mathbb{P}(\{00\})=(1-p{)}^2 \\ \mathbb{P}(\{01\})=(1-p)\cdot p \\ \mathbb{P}(\{10\})=p\cdot (1-p) \\ \mathbb{P}(\{11\})=p^2 \end{gathered}$$

• $n=3$

$$\begin{gathered} \mathbb{P}(\{000\})=(1-p{)}^3 \\ \mathbb{P}(\{001\})=(1-p{)}^2\cdot p \\ \mathbb{P}(\{010\})=(1-p{)}^2\cdot p \\ \mathbb{P}(\{011\})=(1-p)\cdot p^2 \\ \mathbb{P}(\{100\})=(1-p{)}^2\cdot p \\ \mathbb{P}(\{101\})=(1-p)\cdot p^2 \\ \mathbb{P}(\{110\})=(1-p)\cdot p^2 \\ \mathbb{P}(\{111\})=p^3 \end{gathered}$$

In generale

$$\mathbb{P}(\{{\omega }_1,...,{\omega }_n\})=p^{\sum _{i=1}^n{\omega }_i}\cdot (p-1{)}^{1-\sum _{i=1}^n{\omega }_i}$$