Variabile aleatoria geometrica

Usata tipicamente in teoria dell'affidabilità. Si ipotizza un macchinario che opera a cicli, e la trovi anche qui.

Siano

• $p$ la probabilità di rottura ad ogni ciclo
• $X$ il tempo di rottura (dopo quanti cicli si è rotto)

Per cui $\Omega =\{0,1{\}}^{\mathbb{N}}$, quindi la v.a. geometrica è uno schema di Bernoulli con infiniti lanci e $\mathbb{P}$ probabilità prodotto, $X\sim \text{Geom}(p),p\in (0,1)$

Distribuzione

$$\begin{gathered} \Im (X)=\{1,2,3,...,n,...\}=\mathbb{N}\setminus \{0\}={\mathbb{N}}^{\ast } \\ \mathbb{P}(X=k)=\mathbb{P}(\{({\omega }_1,{\omega }_2,...,{\omega }_k)\mid {\omega }_1={\omega }_2=\cdots ={\omega }_{k-1}=0\wedge {\omega }_k=1\})=(1-p{)}^{k-1}p \end{gathered}$$

Valore di attesa

$\mathbb{E}(X)=\frac{1}{p}$

Dimostrazione

$$\begin{gathered} \mathbb{E}(X)=\sum _{k=1}^{\infty }\mathbb{E}(X_i=k)=\sum _{k=0}^{\infty }\mathbb{E}(X_i=k)= \\ \sum _{k=0}^{\infty }k(1-p{)}^{k-1}p=p\sum _{k=0}^{\infty }k(1-p{)}^{k-1}=p\sum _{k=0}^{\infty }\frac{d}{d(1-p)}(1-p{)}^k= \\ =p\frac{d}{d(1-p)}\sum _{k=0}^{\infty }(1-p{)}^k=p\frac{d}{d(1-p)}\sum _{k=0}^{\infty }(1-p{)}^k= \\ =p\frac{d}{d(1-p)}(\frac{1}{1-(1-p)})=p(\frac{1}{p}{)}^2=\frac{1}{p} \end{gathered}$$

Varianza

$\mathbb{V}(X)=\frac{(1-p)}{p^2}$

Perdita di memoria

Sia $G(n)=(1-p{)}^n$ la funzione di sopravvivenza tale che

$$\begin{gathered} G(n)=\mathbb{P}(\text{la macchina sopravvive i primi }n\text{ cicli})= \\ =\mathbb{P}(X>n)=\sum _{k=n+1}^{\infty }\mathbb{P}(X=k)=\sum _{k=n+1}^{\infty }(1-p{)}^{k-1}p⟹ \\ ⟹h=k-n-1⟹\sum _{h=0}^{\infty }(1-p{)}^{h+n}p= \\ =p(1-p{)}^n\sum _{h=0}^{\infty }p(1-p{)}^h=(1-p{)}^n \end{gathered}$$

Ora possiamo determinare che $\mathbb{P}(X=n+l\mid X>n)=\mathbb{P}(X=l)$, dato che

$$\begin{gathered} \mathbb{P}(X=n+l\mid X>n)= \\ =\frac{\mathbb{P}(X=n+l,X>n)}{\mathbb{P}(X>n)}=\frac{\mathbb{P}(X=n+l)}{\mathbb{P}(X>n)}=\frac{(1-p{)}^{n+l-1}p}{(1-p{)}^n}= \\ =(1-p{)}^{l-1}p=\mathbb{P}(X=l) \end{gathered}$$