Assimoatica della probabilità

La probabilità si basa sugli assiomi introdotti da Andrey Kolmogorov nel 1933. Uno schema probabilistico, o modello probabilistico, è composto da 3 oggetti $(\Omega ,\mathcal{A},\mathbb{P})$.

1. $\Omega =\{\text{possibili risultati di un esperimento}\}$
2. $\mathcal{A}=\{E\mid E\subseteq \Omega \}=\mathcal{P}(\Omega )$
   • $|\Omega |=n⟹|A|=2^n$
   • $(\mathcal{A},\cap ,\cup ,\complement )$
3. $\mathbb{P}:\mathcal{A}\to [0,1]$
   • $\mathbb{P}(\varnothing )=0$
   • $\mathbb{P}(\Omega )=1$
   • $A,B\in \mathcal{A}\wedge A\cap B=\varnothing ⟹\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)$

In alternativa al punto 3.

• $\mathbb{P}:\mathcal{A}\to [0,1]$
  • $\forall E\in \mathcal{A},\mathbb{P}(E)\in \mathbb{R}\wedge \mathbb{P}(E)\ge 0$
  • $\mathbb{P}(\Omega )=1$
  • $E_1,E_2,...,E_n\in \mathcal{A}$
    • $i\ne j⟹E_i\cap E_j=\varnothing$
    • $\mathbb{P}(\bigcup _{i=1}^n{E}_i)=\sum _{i=1}^n\mathbb{P}(E_i)$

$\Omega$ è chiamato spazio degli eventi elementari (o spazio campionario) $E\subseteq \Omega$ è un evento, ovvero, una domanda binaria sull'esito dell'esperimento $\mathcal{A}$ è l'algebra degli eventi $\mathbb{P}$ è la probabilità

Conseguenze degli assiomi

TODO: dimostrare le proprietà sotto

Monotonicità $A,B\in \mathcal{A},A\subseteq B⟹\mathbb{P}(A)\le \mathbb{P}(B)$

Probabilità dell'insieme vuoto $\mathbb{P}(\varnothing )=0$

Regola del complemento $E\in \mathcal{A},\mathbb{P}(E^{\complement })=1-\mathbb{P}(E))$

Limite numerico $\forall E\in \mathcal{A},0\le \mathbb{P}(E)\le 1$

Altre conseguenze $A,B\in \mathcal{A},\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)$

Costruzione di $\mathbb{P}$

Sia $p:\Omega \to [0,1]$ ottenuta restringendo $\mathbb{P}$ agli eventi elementari $\forall \omega \in \Omega ,p(\omega ):=\mathbb{P}(\{\omega \}):$

• $\forall \omega \in \Omega ,0\le p(\omega )\le 1$
• $\sum _{\omega \in \Omega }p(\omega )=1$

Per il terzo assioma $\sum _{\omega \in \Omega }p(\omega )=\sum _{\omega \in \Omega }\mathbb{P}(\{\omega \})=\mathbb{P}(\bigcup _{\omega \in \Omega }\omega )=\mathbb{P}(\Omega )=1$

Probabilità uniforme

Si ha probabilità uniforme quando $p(\omega )=\frac{1}{|\Omega |}⟹\mathbb{P}(A=\bigcup _{i=1}^k\{{\omega }_i\},k\le |\Omega |)=\frac{|A|}{|\Omega |}$