Probabilità condizionata

Sia $(\Omega ,\mathbb{P})$ uno schema probabilistico e $A,B\subseteq \Omega$ eventi, si definisce la probabilità condizionata come:

$$\mathbb{P}(B\mid A):=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(A)}$$

Sia $\mathbb{P}$ la probabilità uniforme, allora

$$\mathbb{P}(B\mid A)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(A)}=\frac{\frac{|A\cap B|}{|\Omega |}}{\frac{|A|}{|\Omega |}}=\frac{|A\cap B|}{|A|}$$

Probabilità composte

Sia $(\Omega ,\mathbb{P})$ uno schema probabilistico, e siano $A_1,A_2,...,A_k\subseteq \Omega$ eventi

$$\begin{gathered} \mathbb{P}(\bigcap _{i=1}^k{A}_i)= \\ =\mathbb{P}(A_1)\mathbb{P}(A_2\mid A_1)\mathbb{P}(A_3\mid A_2\cap A_1)\cdots \mathbb{P}(A_k\mid \bigcap _{i=1}^{k-1}{A}_i)= \\ =\mathbb{P}(A_1)\frac{\mathbb{P}(A_2\cap A_1)}{\mathbb{P}(A_1)}\frac{\mathbb{P}(A_3\cap A_2\cap A_1)}{\mathbb{P}(A_2\cap A_1)}\cdots \frac{\bigcap _{i=1}^k{A}_i}{\mathbb{P}(\bigcap _{i=1}^{k-1}{A}_i)}= \\ =\mathbb{P}(\bigcap _{i=1}^k{A}_i) \end{gathered}$$

Probabilità totali

Sia $(\Omega ,\mathbb{P})$ uno schema probabilistico, e siano $D_1,D_2,...,D_n\subseteq \Omega \mid \bigcup _{i=1}^n{D}_i=\Omega \wedge i\ne j⟹D_i\ne D_j$

Formula di Bayes