Variabile aleatoria di Poisson

Usata spesso in teoria delle code, e la trovi anche qui.

Sia $\Delta t$ un intervallo piccolo di tempo, si ha che la probabilità

$$\mathbb{P}(\text{cliente arrivi nell’intervallo }\Delta t)=\lambda \Delta t+o(\Delta t),\lambda >0$$

Arrivi in intervalli di tempo disgiunti sono indipendenti. Ora si consideri l'intervallo di tempo unitario $[0,1]=\bigcup _{i=1}^n[\frac{i-1}{n},\frac{i}{n}]$, quindi suddiviso in $n$ intervalli

X_i = \text{# di arrivi nell'intervallo } \biggl(\frac{i-1}{n}, \frac{i}{n}\biggl) = \begin{cases} 1 & \text{con probabilita' } & \frac{\lambda}{n} \ 0 & \text{con probabilita' } & 1 - \frac{\lambda}{n} \end{cases} \implies \ \implies X_i \sim \text{Bernoulli}\biggl(\frac{\lambda}{n}\biggl)

Per cui

X^{(n)} = \text{# di arrivi nell'intervallo } [0, 1] = \sum\limits_{i = 1}^n X_i \implies X^{(n)} \sim \text{Bin}\biggl(n, \frac{\lambda}{n}\biggl)

Teorema di Poisson

Siano $\lambda \in (0,1),X^{(n)}\sim Bin(n,\frac{\lambda }{n})$, con $n$ grande abbastanza. Fissando $k=0,1,...,n$, allora $\underset{n\to \infty }{\lim }\mathbb{P}(X^{(n)}=k)=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}$

TODO: Dimostrazione

Distribuzione

$\mathbb{P}(X^{(n)}=k)=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}$

TODO: Dimostrazione distribuzione

Valore di attesa

$\mathbb{E}(X)=\lambda$

Dimostrazione

$$\begin{gathered} \mathbb{E}(X)=\sum _{k=0}^{\infty }k\mathbb{P}(X=k)=\sum _{k=1}^{\infty }k\mathbb{P}(X=k)=\sum _{k=1}^{\infty }k\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}=e^{-\lambda }\sum _{k=1}^{\infty }\frac{{\lambda }^k}{(k-1)!} \\ h=k-1⟹e^{-\lambda }\sum _{h=0}^{\infty }\frac{{\lambda }^{h+1}}{h!}=\lambda e^{-\lambda }\sum _{h=0}^{\infty }\frac{{\lambda }^h}{h!}=\lambda e^{-\lambda }{e}^{\lambda }=\lambda \end{gathered}$$

Varianza

$\mathbb{V}(X)=\lambda$

Dimostrazione

$\mathbb{V}(X)=\underset{n\to \infty }{\lim }\mathbb{V}(X^{(n)})=\underset{n\to \infty }{\lim }n\frac{\lambda }{n}(1-\frac{\lambda }{n})=\underset{n\to \infty }{\lim }\lambda -\frac{{\lambda }^2}{n}=\lambda$

Complementare

TODO