Indipendenza

Spazio di probabilità prodotto

Siano $({\Omega }_1,{\mathbb{P}}_1)$ e $({\Omega }_2,{\mathbb{P}}_2)$ due schemi probabilistici (Es. lancio di una moneta e misura della temperatura a Rio). Ora si considera l'esperimento congiunto

$$\Omega ={\Omega }_1\times {\Omega }_2=\{({\omega }_1,{\omega }_2)\mid {\omega }_1\in {\Omega }_1,{\omega }_2\in {\Omega }_2\}$$

La scelta naturale per la probabilità $\mathbb{P}$ è la probabilità prodotto

$$\mathbb{P}(\{{\omega }_1,{\omega }_2\})={\mathbb{P}}_1(\{{\omega }_1\})\cdot {\mathbb{P}}_2(\{{\omega }_2\})$$

Si può osservare che:

Se ${\mathbb{P}}_1,{\mathbb{P}}_2$ sono le probabilità uniformi su ${\Omega }_1,{\Omega }_2$ allora $\mathbb{P}$, probabilità prodotto, è la probabilità uniforme su $\Omega$.

Infatti

$$\mathbb{P}(\{{\omega }_1,{\omega }_2\})=\frac{1}{|{\Omega }_1|}\cdot \frac{1}{|{\Omega }_2|}=\frac{1}{|{\Omega }_1\times {\Omega }_2|}=\frac{1}{|\Omega |}$$

$\mathbb{P}$ soddisfa le seguenti condizioni di compatibilità:

• Sia $A\subseteq \Omega$ un evento che posso decidere osservando l'esperimento descritto solo da $({\Omega }_1,{\mathbb{P}}_1)$, osservo che $A=A_1\times {\Omega }_2$ con $A_1\subseteq {\Omega }_1$, allora

$$\begin{gathered} \mathbb{P}(A)=\sum _{({\omega }_1,{\omega }_2)\in A_1\times {\Omega }_2}{\mathbb{P}}_1(\{{\omega }_1\})\cdot {\mathbb{P}}_2(\{{\omega }_2\})= \\ =\sum _{{\omega }_1\in A_1}\mathbb{P}(\{{\omega }_1\})\cdot \sum _{{\omega }_2\in {\Omega }_2}\mathbb{P}(\{{\omega }_2\})= \\ =\sum _{{\omega }_1\in A_1}\mathbb{P}(\{{\omega }_1\})\cdot 1={\mathbb{P}}_1(A_1) \end{gathered}$$

• Allo stesso modo, se $B$ è un evento deciso osservando solo ${\Omega }_2$, ovvero $B={\Omega }_1\times B_2$ con $B_2\subseteq {\Omega }_2$, si ha $\mathbb{P}(B)={\mathbb{P}}_2(B_2)$

Nello schema di probabilità prodotto, se $A$ è deciso solo da ${\Omega }_1$ e $B$ è deciso solo da ${\Omega }_2$, allora $\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\cdot \mathbb{P}(B)$

$$\begin{gathered} A_1\subseteq {\Omega }_1,A=A_1\times {\Omega }_2 \\ {B}_2\subseteq {\Omega }_2,B={\Omega }_1\times B_2 \\ \mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}((A_1\times {\Omega }_2)\cap ({\Omega }_1\times B_2))= \\ =\mathbb{P}(A_1\times B_2)={\mathbb{P}}_1(A_1)\cdot {\mathbb{P}}_2(B_2)= \\ =\mathbb{P}(A)\cdot \mathbb{P}(B) \end{gathered}$$

In generale, dato lo schema probabilistico $(\Omega ,\mathbb{P})$, due eventi $A,B\subseteq \Omega$ sono indipendenti quando $\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\cdot \mathbb{P}(B)$

Indipendenza di 3 eventi

Dato lo schema probabilistico $(\Omega ,\mathbb{P})$, siano $A,B,C\subseteq \Omega$ ci sono almeno due modi di definire l'indipendenza di 3 eventi:

1. Indipendenza a coppie, per cui

   • $\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\cdot \mathbb{P}(B)$
   • $\mathbb{P}(A\cap C)=\mathbb{P}(A)\cdot \mathbb{P}(C)$
   • $\mathbb{P}(B\cap C)=\mathbb{P}(B)\cdot \mathbb{P}(C)$

2. Indipendenza a terna, per cui

   • $\mathbb{P}(A\cap B\cap C)=\mathbb{P}(A)\cdot \mathbb{P}(B)\cdot \mathbb{P}(C)$

Si dimostra che l'indipendenza di tipo $1$ non implica $2$ e l'indipendenza di tipo $2$ non implica $1$, per questo, quando si darà per assunta l'ipotesi di indipendenza si considerano sia l'indipendenza a coppie sia l'indipendenza a terna come vere.

Indipendenza di $n$ eventi

Sia $(\Omega ,\mathbb{P})$ uno schema probabilistico, $A_1,A_2,...,A_n\subseteq \Omega$ sono indipendenti quando presa una qualunque sottofamiglia di $A_1,...,A_n$ la probabilità $\mathbb{P}(A_1\cap ...\cap A_n)=\mathbb{P}(A_1)\cdot ...\cdot \mathbb{P}(A_n)$

$$\begin{gathered} \forall k,\forall (1\le i_1<i_2<...<i_k\le n) \\ \mathbb{P}(A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap ...\cap A_{i_k})=\mathbb{P}(A_{i_1})\cdot \mathbb{P}(A_{i_2})\cdot ...\cdot \mathbb{P}(A_{i_k}) \end{gathered}$$